Question

2．已知圆C过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，利用d=r，即可求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．

解答 解：（1）由题意知，圆心在线段AB的中垂线上，
又Qk_AB=-1，且线段AB的中点坐标为（0，0），则AB的中垂线方程为y=x．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y-2=0\end{array}\right.$得圆心坐标为（1，1），半径$r=\sqrt{{{（{1-1}）}^2}+{{（{-1-1}）}^2}}=2$．
所求圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）当直线斜率存在时，设直线方程为y-2=k（x-3）与圆相切，
由d=r得$d=\frac{{|{k×1-1-3k+2}|}}{{\sqrt{{1^2}+{k^2}}}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
所以直线方程为3x+4y-17=0．
又因为过圆外一点作圆的切线有两条，则另一条方程为x=3也符合题意，
综上，圆的切方程为3x+4y-17=0和x=3．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．