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【题目】如图,平面.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求线段的长.

【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系

(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行;

(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量,然后求解线面角的正弦值即可;

(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量,然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程,解方程可得CF的长度.

依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),

可得.

,则.

(Ⅰ)依题意,是平面ADE的法向量,

,可得

又因为直线平面,所以平面.

(Ⅱ)依题意,

为平面BDE的法向量,

,即

不妨令z=1,可得

因此有.

所以,直线与平面所成角的正弦值为.

(Ⅲ)设为平面BDF的法向量,则,即.

不妨令y=1,可得.

由题意,有,解得.

经检验,符合题意

所以,线段的长为.

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x ()

10

20

25

30

()

110

120

125

120

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