【题目】如图,平面,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求线段的长.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行;
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量,然后求解线面角的正弦值即可;
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量,然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程,解方程可得CF的长度.
依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),
可得.
设,则.
(Ⅰ)依题意,是平面ADE的法向量,
又,可得,
又因为直线平面,所以平面.
(Ⅱ)依题意,,
设为平面BDE的法向量,
则,即,
不妨令z=1,可得,
因此有.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量,则,即.
不妨令y=1,可得.
由题意,有,解得.
经检验,符合题意
所以,线段的长为.
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【题目】下面使用类比推理正确的是( )
A. 直线a∥b,b∥c,则a∥c,类推出:向量,则
B. 同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.类推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b
C. 实数a,b,若方程x2+ax+b=0有实数根,则a2≥4b.类推出:复数a,b,若方程x2+ax+b=0有实数根,则a2≥4b
D. 以点(0,0)为圆心,r为半径的圆的方程为x2+y2=r2.类推出:以点(0,0,0)为球心,r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x﹣y+4=0和圆O:x2+y2=4,P是直线l上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N.
(1)若PM⊥PN,求点P坐标;
(2)若圆O上存在点A,B,使得∠APB=60°,求点P的横坐标的取值范围;
(3)设线段MN的中点为Q,l与x轴的交点为T,求线段TQ长的最大值.
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【题目】某学习小组通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现:该服装在过去的一个月内(以天计),日销售量 (件)与时间x (天)的部分数据如下表所示,给出以下四种函数模型:① ,② ,③ ④.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量(件)与时间x(天)的变化关系,请将你选择的函数序号填写在横线上__________.(不需要求出具体解析式)
x (天) | 10 | 20 | 25 | 30 |
(件) | 110 | 120 | 125 | 120 |
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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【题目】已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则 m∥n
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.
D.若m∥α,n∥α,且mβ, nβ,则α∥β
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