Question

设平面内的向量

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，

OM

=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，且

PA

•

PB

=-8，求

OP

的坐标及∠APB的余弦值．

Answer 1

分析：由题意，可设

OP

=(x，y)，再由点P在直线OM上，得到

OP

与

OM

共线，由此共线条件得到x，y之间的关系，代入

PA

•

PB

=-8，解出x，y的值，即可求出

OP

的坐标及

PA

=（-3，5），

PB

=（1，-1），再由夹角的向量表示公式cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

求出∠APB的余弦值

解答：解：（1）由题意，可设

OP

=(x，y)，∵点P在直线OM上，
∴

OP

与

OM

共线，而

OM

=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，有

OP

=（2y，y），
∵

PA

=

OA

-

OP

=（1-2y，7-y），

PB

=

OB

-

OP

=（5-2y，1-y），
∴

PA

•

PB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y），即

PA

•

PB

=5y²-20y+12，
又

PA

•

PB

=-8，
∴5y²-20y+12=-8，解得y=2，x=4
此时

OP

=（4，2），

PA

=（-3，5），

PB

=（1，-1），
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-8

34 × 2

=-

4 17

17

点评：本题考查了向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，本题综合性强，运算量大，谨慎计算是正确解题的关键