Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）讨论函数g（x）=f（x）ex的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．

∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 处取得极值，

∴f′（﹣ ）=0，

∴3a +2（﹣ ）=0，

∴a= ；

（2）解：由（1）得g（x）=（ x3+x2）ex，

∴g′（x）=（ x2+2x）ex+（ x3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex，

令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，

当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；

当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；

当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；

当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；

综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）为增函数

【解析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 处取得极值，可得f′（﹣ ）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）=（ x3+x2）ex ， 利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．