Question

（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为

3

4

，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为

2

3

，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B

.

C

.

D

+

.

B

C

.

D

+

.

B

.

C

D，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；
（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P（B）=

3

4

，P（C）=P（D）=

2

3

由于A=B

.

C

.

D

+

.

B

C

.

D

+

.

B

.

C

D
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B

.

C

.

D

）+P（

.

B

C

.

D

）+P（

.

B

.

C

D）=P（B）P（

.

C

）P（

.

D

）+P（

.

B

）P（C）P（

.

D

）+P（

.

B

）P（

.

C

）P（D）
=

3

4

×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）+（1-

3

4

）×

2

3

×（1-

2

3

）+（1-

3

4

）×（1-

2

3

）×

2

3

=

7

36

（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5
根据事件的对立性和互斥性得
P（X=0）=P（

.

B

.

C

.

D

）=（1-

3

4

）×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）=

1

36

P（X=1）=P（B

.

C

.

D

）=

3

4

×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）=

1

12

P（X=2）=P（

.

B

C

.

D

+

.

B

.

C

D）=P（

.

B

C

.

D

）+P（

.

B

.

C

D）=（1-

3

4

）×

2

3

×（1-

2

3

）+（1-

3

4

）×（1-

2

3

）×

2

3

=

1

9

P（X=3）=P（BC

.

D

）+P（B

.

C

D）=

3

4

×

2

3

×（1-

2

3

）+

3

4

×（1-

2

3

）×

2

3

=

1

3

P（X=4）=P（

.

B

CD）=（1-

3

4

）×

2

3

×

2

3

=

1

9

P（X=5）=P（BCD）=

3

4

×

2

3

×

2

3

=

1

3

故X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	1 36	1 12	1 9	1 3	1 9	1 3

所以E（X）=0×

1

36

+1×

1

12

+2×

1

9

+3×

1

3

+4×

1

9

+5×

1

3

=

41

12

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．