Question

已知幂函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈R，当且仅当x₁=x₂时，有f（x₁）=f（x₂）．则f（-1）+f（0）+f（1）的值为

0

．

Answer 1

分析：由已知，函数f（x）的定义域为R，再进一步的判断出是奇函数，问题解决．

解答：解：设f（x）=x^α，由已知，函数f（x）的定义域为R，∴α＞0，又∵对任意x₁，x₂∈R，当且仅当x₁=x₂时，有f（x₁）=f（x₂）．即是说，y与x一一对应，f（x）必定不是偶函数．
当α为整数时，α必为奇数，从而f（x）为奇函数，f（0）=0，f（-1）+f（0）+f（1）=-f（1）+0+f（1）=0．
当α为分数时，设α=

m

n

，（

m

n

为最简正分数，且n≥2），f（x）=x

m

n

=

n	xm

，∴m为奇数，n为奇数，此时f（x）为奇函数，
同样地，f（0）=0，f（-1）+f（0）+f（1）=-f（1）+0+f（1）=0．，
故答案为：0

点评：本题主要考查幂函数的性质．幂函数的性质的性质与幂指数密切相关，本题挖掘出f（x）是定义在R上的奇函数是关键．