Question

某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A、B两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3．你能否确定鱼群此时分别与A、B两岛的距离？

Answer 1

以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系
设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)且c=

a2-b2

------（3分）
因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点，
所以a-c=20------（5分）
又|AB|=2c=40，
则c=20，a=40，
故b=20

3

------（7分）
所以鱼群的运动轨迹方程是

x2

1600

+

y2

1200

=1------（8分）
由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3，
因此设此时距A，B两岛的距离分别为5k，3k-------（10分）
由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80?k=10--------（13分）
即鱼群分别距A，B两岛的距离为50海里和30海里．------（14分）