Question

15．已知向量$\vec a=（1，m），\vec b=（1，-3）$，且满足$（2\vec a+\vec b）⊥\vec b$
（Ⅰ）求向量$\vec a$的坐标及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）求向量$\vec a$与$\vec b$的夹角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的坐标运算和垂直关系可得m的值，进而可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，由模长公式可得；
（Ⅱ）由夹角公式可得向量夹角的余弦值，进而可得向量的夹角．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\vec a=（1，m），\vec b=（1，-3）$，
∵$（2\vec a+\vec b）⊥\vec b$，∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=（3，2m-3）•（1，-3）=3+（2m-3）×（-3）=0，
解得m=2，∴$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，-1）
∴$|{\vec a+\vec b}|=\sqrt{5}$；
（Ⅱ）设向量$\vec a$与$\vec b$的夹角为θ，
由夹角公式可得$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{（1，2）•（1，-3）}{{\sqrt{1+{2^2}}\sqrt{1+{{（-3）}^2}}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0≤θ≤π，∴向量$\vec a$与$\vec b$的夹角$θ=\frac{3π}{4}$

点评 本题考查数量积和向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．