Question

16．数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=5，n≥2时，a_n+a_n-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+a_n-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$变形、整理可知a_n（a_n-6）-a_n-1（a_n-1-6）=7（n≥2），进而可知数列{a_n（a_n-6）}是以-5为首项、以7为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+a_n-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$，
∴${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=7+6a_n-6a_n-1，
整理得：a_n（a_n-6）-a_n-1（a_n-1-6）=7（n≥2），
又∵a₁（a₁-6）=-5，
∴数列{a_n（a_n-6）}是以-5为首项、以7为公差的等差数列，
∴a_n（a_n-6）=-5+7（n-1）=7n-12，
即${{a}_{n}}^{2}$-6a_n，-7n+12=0，
解得：a_n=$\frac{6+\sqrt{36-4（-7n+12）}}{2}$=3+$\sqrt{7n-3}$，
或a_n=3-$\sqrt{7n-3}$（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+$\sqrt{7n-3}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．