Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx-2与椭圆C相交于A，B两点，且，若原点O在以MN为直径的圆外，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意，可设椭圆E的方程为
∵离心率为，∴，即a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∵椭圆经过点，∴
解得c²=1
∴a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为．
（2）记A、B 两点坐标分别为A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
由消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞，
由韦达定理 x₁ +x₂=，x₁x₂=，
∵原点O在以MN为直径的圆外，∴∠MON为锐角
∵
∴∠AOB为锐角
∴
∵═x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=（k²+1）×-2k×+4=
∴
∴
∵k²＞，
∴
∴k的取值范围为
分析：（1）依题意设出椭圆的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点，待定系数法求出椭圆的方程；
（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，结合向量条件，原点O在以MN为直径的圆外，可得∠MON为锐角，从而∠AOB为锐角，利用向量的数量积，即可求得k的取值范围．
点评：本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，综合性强．