Question

已知定点A（-2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由椭圆的第二定义可知：
点M的轨迹E是以定点F（1，0）为焦点，离心率e=，直线l：x=4为准线的椭圆（除去与x轴相交的两点）．
∴c=1，，∴a=2，b²=2²-1²=3，
∴点M的轨迹为椭圆E，其方程为（除去（±2，0））．
（2）以线段PQ为直径的圆经过定点F．下面给出证明：
如图所示：设C（x₀，y₀），（x₀≠±2），则直线AC的方程为：，
令x=4，则y_P=，∴，∴=；
直线BC的方程为：，令x=4，则y_Q=，∴，∴k_QF==．
∴k_PF•k_QF==，
∵点C（x₀，y₀）在椭圆上，∴，∴=-1，
∴k_PF•k_QF=-1．
因此以线段PQ为直径的圆经过定点F．
分析：（1）由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆；
（2）设出椭圆上的点C的坐标，进而写出直线AC、BC的方程，分别求出点P、Q的坐标，只要判断k_PF•k_QF=-1是否成立即可．
点评：熟练掌握椭圆的定义、直线垂直与斜率的关系是解题的关键．