Question

5．已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）连结AN并延长交BC于点E，连结PE，由已知条件推导出MN∥PE，由此利用直线与平面平行的判定定理能证明MN∥平面PBC．
（2）利用勾股定理求出正四棱锥P-ABCD的高，由此利用正四棱锥的性质能求出正四棱锥P-ABCD的表面积和体积．

解答 （1）证明：∵P-ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形，
连结AN并延长交BC于点E，连结PE，
∵AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND，
又∵BN：ND=PM：MA，∴EN：AN=PM：MA，
∴MN∥PE，
又∵PE在平面PBC内，MN在平面PBC外，
∴MN∥平面PBC．
（2）解：设点P在底面ABCD上的射影为O，连结PO，
∵正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，
∴PA=AB=PB=13，OB=$\frac{1}{2}\sqrt{1{3}^{2}+1{3}^{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
由正棱锥的性质知PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴正四棱锥P-ABCD的表面积：
S=4S_△PAB+S_{正方形ABCD}
=$4×（\frac{1}{2}×13×13×sin60°）+13×13$
=169$\sqrt{3}$+169．
正四棱锥P-ABCD的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×PO$
=$\frac{1}{3}×13×13×\frac{13\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{2197\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查正四棱锥的表面积和体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与平面平行的判定定理和正四棱锥的性质的合理运用．