Question

定义在R上的非零偶函数y=f（x）满足：对任意的x，y∈[0，+∞）都有f（x+y）=f（x）•f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）若f（1）=2，求f（-4）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）若关于x的方程f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)在（2，+∞）上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1可求得f（2），令x=y=2可求得f（4），由偶函数的性质可得f（-4）=f（4）；
（2）定义法：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-f（x₂-x₁）f（x₁）=f（x₁）[1-f（x₂-x₁）]，根据已知条件可判断差的符号，从而可证明f（x₁）＜f（x₂）；
（3）由偶函数的性质f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)可化为f（|x|）=f（|

a(x-1)

x+1

|），由单调性可得x=|

a(x-1)

x+1

|，则问题等价于|a|=

x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有两个不等实根，
而

x(x+1)

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+3，令t=x-1，则可作出t+

2

t

+3的草图，根据图象的交点个数可得不等式，解出即可；

解答：（1）解：令x=y=1，则有f（1+1）=f（1）•f（1）=2•2=4，
∴f（2）=4，
令x=y=2，则有f（2+2）=f（2）•f（2）=4•4=16，
∴f（4）=16，又∵y=f（x）为定义在R上的偶函数，
∴f（-4）=f（4）=16；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-f（x₂-x₁）f（x₁）=f（x₁）[1-f（x₂-x₁）]，
∵x＞0时f（x）＞1＞0，0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，f（x₁）＞0，f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）解：由偶函数的性质可得，f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)可化为f（|x|）=f（|

a(x-1)

x+1

|），
由（2）知f（x）在（0，+∞）上为单调递增，
∴x∈（2，+∞）时，有x=|

a(x-1)

x+1

|，即|a|=

x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有两个不等实根，

x(x+1)

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+3，
令t=x-1，则t＞1，t+

2

t

+3≥2

2

+3，当t=

2

时取等号，
作出t+

2

t

+3的草图，如图所示：
由图象可知，要使方程f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)在（2，+∞）上有两个不同的实根，只需2

2

+3＜|a|＜6，
解得2

2

+3＜a＜6，或-6＜a＜-2

2

-3．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象方程的求解，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．