Question

点O是平面α内的定点，点A（与点O不同）的“对偶点”A′是指：点A′在射线OA上且|OA|•|OA′|=1厘米²．若平面α内不同四点P，Q，R，S在某不过点O的直线l上，则它们相应的“对偶点”P′，Q′R′，S′在（　　）

A、一个过点O的圆上

B、一个不过点O的圆上

C、一条过点O的直线上

D、一条不过点O的直线上

Answer 1

分析：过O作与直线l垂直的直线m，以O为原点，直线m为x轴，单位为1厘米，建立平面直角平面坐标系，设出P，P′的坐标，利用|OP|•|OP′|=1，化简可得结论．

解答：解：过O作与直线l垂直的直线m，以O为原点，直线m为x轴，单位为1厘米，建立平面直角平面坐标系．
设直线l：x=

1

a

（a≠0），P（

1

a

，y₀）是直线l上任意一点，它的“对偶点”为P′（x，y），则存在λ＞0，使得

OP

=λ

OP′

，即

1

a

=λx，y0=λy，
又|OP|•|OP′|=

OP

•

OP′

=

x

a

+y0y=1，消去λ，得x²+y²-ax=0．
故P′，Q′R′，S′在过点O的圆x²+y²-ax=0上．
故选A．

点评：本题考查轨迹方程，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．