Question

【题目】如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；
（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，

∴OD∥A1B，

∵A1B平面B1DC，OD平面B1DC，

∴A1B∥平面B1DC．

（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．

∴以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B1（0， ，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），

=（﹣1， ，﹣3）， =（﹣1，0，﹣3）， =（0，0，﹣3），

设平面B1DC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（﹣3，0，1），

设平面B1CC1的法向量 =（a，b，c），

则 ，取b=1，得 =（ ），

设二面角D﹣B1C﹣C1的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，则OD∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1DC．（Ⅱ）以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．