【题目】已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴,其准线过点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线焦点F作直线l,使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为,求直线l的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题意得,抛物线的焦点在轴上,设抛物线C的方程为,由准线过点,可得,从而求解.
(2)求出抛物线C的焦点为,分类讨论直线l的斜率不存在时,验证不合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为,过点P的直线平行直线且与抛物线C相切,设该切线方程为,代入抛物线方程,使判别式等于零,再利用两平行线间的距离公式即可求解.
(1)由题意得,抛物线的焦点在轴正半轴上,设抛物线C的方程为,
因为准线过点,所以,即.
所以抛物线C的方程为.
(2)由题意可知,抛物线C的焦点为.
当直线l的斜率不存在时,C上仅有两个点到l的距离为,不合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为,
过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.
设该切线方程为,
代入,可得.
由,得.
由,整理得,
又,解得,即.
因此,直线l方程为.
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【题目】根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩使用量(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求关于的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?
附:相关系数公式,参考数据:,.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
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【题目】某班共有名学生,已知以下信息:
①男生共有人;
②女团员共有人;
③住校的女生共有人;
④不住校的团员共有人;
⑤住校的男团员共有人;
⑥男生中非团员且不住校的共有人;
⑦女生中非团员且不住校的共有人.
根据以上信息,该班住校生共有______人
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【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资,得到这名农民工月工资的中位数为百元(假设这名农民工的月工资均在(百元)内)且月工资收入在(百元)内的人数为,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有名,则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中.
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【题目】已知圆经过两点,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)已知过点的直线与圆相交截得的弦长为,求直线的方程;
(3)已知点,在平面内是否存在异于点的定点,对于圆上的任意动点,都有为定值?若存在求出定点的坐标,若不存在说明理由.
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