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【题目】已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴,其准线过点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过抛物线焦点F作直线l,使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为,求直线l的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】

1)由题意得,抛物线的焦点在轴上,设抛物线C的方程为,由准线过点,可得,从而求解.

2)求出抛物线C的焦点为,分类讨论直线l的斜率不存在时,验证不合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为,过点P的直线平行直线且与抛物线C相切,设该切线方程为,代入抛物线方程,使判别式等于零,再利用两平行线间的距离公式即可求解.

(1)由题意得,抛物线的焦点在轴正半轴上,设抛物线C的方程为

因为准线过点,所以,即.

所以抛物线C的方程为.

(2)由题意可知,抛物线C的焦点为.

当直线l的斜率不存在时,C上仅有两个点到l的距离为,不合题意;

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为

要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为

过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.

设该切线方程为

代入,可得.

,得.

,整理得

,解得,即.

因此,直线l方程为.

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