Question

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{cosC}{c}$，则sinC-sinB的取值范围为（-1，1）．

Answer 1

分析 把已知等式变形，得到$\frac{2sinB-sinC}{2sinC}=\frac{cosC}{c}$，然后分C=$\frac{π}{2}$和C$≠\frac{π}{2}$讨论，当C$≠\frac{π}{2}$时，再分$C＞\frac{π}{2}$和$C＜\frac{π}{2}$讨论求解sinC-sinB的取值范围．

解答 解：由$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{cosC}{c}$，得$\frac{2sinB-sinC}{2sinC}=\frac{cosC}{c}$，
①当C=$\frac{π}{2}$时，B=$\frac{π}{6}$，此时sinC-sinB=$\frac{1}{2}$；
②当C$≠\frac{π}{2}$时，c=$\frac{2sinCcosC}{2sinB-sinC}＞0$．
若C$＞\frac{π}{2}$，则2sinB-sinC＜0，
∴0$＜sinB＜\frac{sinC}{2}$，
∴$\frac{sinC}{2}＜sinC-sinB＜sinC$，
若C＜$\frac{π}{2}$，则2sinB-sinC＞0，
∴$\frac{sinC}{2}＜sinB≤1$．
此时sinC-1≤sinC-sinB$＜\frac{sinC}{2}$，即-1$＜sinC-sinB＜\frac{1}{2}$．
综上，-1＜sinC-sinB＜1．
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了分类讨论的数学思想方法，灵活变形是解答该题的关键，属难题．