Question

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC．
（1）设AB=x米，cosA=f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABD与△CBD中，分别利用余弦定理，即可确定f（x）的解析式，及x的取值范围；
（2）四边形ABCD的面积S=（AB•AD+CB•CD）sinA=，构建函数g（x）=（x²-4）（ x²-14x+49），x∈（2，5），求导函数，即可求得四边形ABCD面积的最大值．
解答：解：（1）设AB=x米，则BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，
则有5-x＞0，即x＜5．
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC． …（3分）
因为∠A和∠C互补，所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA． …（5分）
即x²+（9-x）²-2 x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2 x（5-x）cosA．
解得cosA=，即f（x）=．
由余弦的定义，有＜1，则x＞2，
故x∈（2，5）．    …（8分）
（2）四边形ABCD的面积S=（AB•AD+CB•CD）sinA=[x（5-x）+x（9-x）]=．…（11分）
记g（x）=（x²-4）（x²-14x+49），x∈（2，5）．
由g′（x）=2x（x²-14x+49）+（x²-4）（2 x-14）=2（x-7）（2 x²-7 x-4）=0，
∴x=4或x=7或x=-．
∵x∈（2，5），∴x=4．                    …（14分）
所以函数g（x）在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减．
因此g（x）的最大值为g（4）=12×9=108．
所以S的最大值为=6．
答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m²．    …（16分）
点评：本题考查函数解析式，考查余弦定理的运用，考查四边形面积的计算，考查利用导数求函数的最值，正确表示四边形的面积是关键．