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7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-$\sqrt{2}$bc=a2
(1)求角A;
(2)若a=$\sqrt{3}$,cosB=$\frac{4}{5}$,求该三角形的面积.

分析 (1)由题意和余弦定理可得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,结合A∈(0,π)可得A=$\frac{π}{4}$;
(2)由题意和同角三角函数基本关系可得sinB,进而由正弦定理可得b,由和差角的三角函数公式可得sinC,代入三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC,计算可得.

解答 解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-$\sqrt{2}$bc=a2
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,结合A∈(0,π)可得A=$\frac{π}{4}$;
(2)∵a=$\sqrt{3}$,cosB=$\frac{4}{5}$,∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$,
∴由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$,
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{6}}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{63}{50}$

点评 本题考查余弦定理,涉及正弦定理和三角函数公式,属中档题.

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