考点:直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题:空间位置关系与距离
分析:(I)求出棱锥的底面积和高,代入棱锥体积公式,可得V
D-ABC的体积.
(Ⅱ)在矩形ACC
1A
1中,CD=DC
1=
,从而C
1D⊥DC,由由题意知AB=
,BD=
,由此利用勾股定理能证明△BDC
1是直角三角形,即C
1D⊥BD,由此能证明DC
1⊥平面BDC
解答:
解:(I)∵AC=BC=
AA
1=1,D是棱AA
1的中点,
∴S
△ABC=
AC•BC=
×1×1=
,
又DA⊥平面ABC,
∴三棱锥D-ABC的体积为:V
D-ABC=
×S
△ABC×DA=
×
×1=
证明:(Ⅱ)在矩形ACC
1A
1中,CD=DC
1=
,
∴DC
2+DC
12=CC
12,
△C
1DC是直角三角形,
∴C
1D⊥DC,
由题意知AB=
,
在Rt△ABD中,AD=1,AB=
,
∴BD=
,
在Rt△A
1DC
1中,C
1D=
=
,
在Rt△BCC
1中,BC
1=
=
,
∴BD
2+DC
12=BC
12,
∴△BDC
1是直角三角形.
即C
1D⊥BD,
又∵DC∩BD=D,
∴DC
1⊥平面BDC.
点评:本题考查三角形为直角三角形和证明,考查平面和平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.