Question

（2011•佛山一模）设n∈N⁺，圆C_n：x²+y²=R

2 n

（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=

x

的交点为N（x_n，y_n），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用x_n表示R_n和a_n；
（2）若数列{x_n}满足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．
①求常数P的值使数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列；
②比较a_n与2•3ⁿ的大小．

Answer 1

分析：（1）根据y=

x

与圆C_n交于点N，可得Rn=

x 2 n +xn

，确定直线MN的方程，利用点N（x_n，y_n）在直线MN上，即可用x_n表示R_n和a_n；
（2）由x_n+1=4x_n+3得{x_n+1}是以4为首项，4为公比的等比数列，由此可求an=4n+2n，①利用数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列，构建等式，即可求得结论；
②由①知：an=4n+2n，构建函数f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），证明函数是增函数，即可得到结论．

解答：解：（1）∵y=

x

与圆C_n交于点N，∴

R

2 n

=

x

2 n

+

y

2 n

=

x

2 n

+xn
∴Rn=

x 2 n +xn

，…（2分）
由题可知，点M的坐标为（0，R_n），从而直线MN的方程为

x

an

+

y

Rn

=1，…（3分）
由点N（x_n，y_n）在直线MN上得：

xn

an

+

yn

Rn

=1，…（4分）
将Rn=

x 2 n +xn

，yn=

xn

代入化简得：an=1+xn+

1+xn

．…（6分）
（2）由x_n+1=4x_n+3得：1+x_n+1=4（x_n+1），…（7分）
又x₁=3，∴1+x₁=4，故{x_n+1}是以4为首项，4为公比的等比数列
∴x_n+1=4•4^n-1=4ⁿ，∴an=4n+2n       …（8分）
①a_n+1-p•a_n=4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-p（4ⁿ+2ⁿ）=（4-p）•4ⁿ+（2-p）•2ⁿ，a_n+2-p•a_n+1=（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n）得：（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ=q[（4-p）•4ⁿ+（2-p）•2ⁿ]…（9分）
∴

16-4p=q(4-p) 4-2p=q(2-p)

，∴

pq=8 p+q=6

，解得：

p=2 q=4

或

p=4 q=2

故当p=2时，数列{a_n+1-p•a_n}成公比为4的等比数列；当p=4时，数列{a_n+1-p•a_n}成公比为2的等比数列． …（11分）
②由①知：an=4n+2n，当n=1时，a1=41+21=3•2¹；
当n≥2时，an=4n+2n＞2•3n．…（12分）
事实上，令f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），则f′（x）=n[（x+1）^n-1-x^n-1]＞0，
故f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函数，
∴f（3）＞f（2），即：4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ，即an=4n+2n＞2•3n．…（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查大小比较，确定数列的通项是关键，属于中档题．