Question

7．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个单位向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$．
（1）已知$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，求k的值；
（2）若A，B，D三点共线，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，以及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{a}$|=1=|$\overrightarrow{b}$|，求得k的值．
（2）由题意可得必存在λ，使$\overrightarrow{AB}$=λ•$\overrightarrow{BD}$，即2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=λ（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），由此求得k的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
再根据|$\overrightarrow{a}$|=1=|$\overrightarrow{b}$|，以及 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$+k${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴2+k=0，
∴k=-2．
（2）由已A，B，D三点共线，可得必存在λ，使$\overrightarrow{AB}$=λ•$\overrightarrow{BD}$．
又 $\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=λ（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=2λ}\\{k=-λ}\end{array}\right.$，
求得k=-1，λ=1．

点评 本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，平面向量基本定理的应用，属于基础题．