Question

【题目】如图，已知F1、F2是椭圆G： 的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1 ， 且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为 ．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为（﹣1，0），故c=1． 又△ABF2的周长为 ，即 ，故a= ．
所以，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．
因此，椭圆G的标准方程为 ；
注：本小题也可以用焦点和离心率作为条件，即将周长换离心率．
（Ⅱ）不存在．理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|．
由题意知F2（1，0），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），假设|AF2|=|BF2|，
则 ，
又 ， ，代入上式，消去 ，得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣6）=0．
因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1≠x2 ， 故x1+x2=6（与x1≤ ，x2≤ ，x1+x2≤2 ＜6，矛盾）．
联立方程 ，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
所以 =6，矛盾．
故|AF2|≠|BF2|．
再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．
假设△ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．
设|AF1|=m，则 ，
在△AF1F2中，由勾股定理得： ，此方程无解．
故不存在这样的等腰直角三角形．
注：本题也可改为是否存在直角三角形？会简单一些．改为是否存在等腰三角形则不易计算，也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形．
【解析】（Ⅰ）由题意可知：c=1，4a=4 ，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6．（与x1≤ ，x2≤ ，x1+x2≤2 ＜6，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理： =6，矛盾．故|AF2|≠|BF2|．再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得： ，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．