Question

【题目】现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D 由题意知P（B）= ，P（C）=P（D）=
由于A=B + +
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B ）+P（ ）+P（ ）=P（B）P（ ）P（ ）+P（ ）P（C）P（ ）+P（ ）P（ ）P（D）
= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）×
=
（Ⅱ）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5
根据事件的对立性和互斥性得
P（X=0）=P（ ）=（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）=
P（X=1）=P（B ）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）=
P（X=2）=P（ + ）=P（ ）+P（ ）=（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× =
P（X=3）=P（BC ）+P（B D）= × ×（1﹣ ）+ ×（1﹣ ）× =
P（X=4）=P（ ）=（1﹣ ）× × =
P（X=5）=P（BCD）= × × =
故X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P

所以E（X）=0× +1× +2× +3× +4× +5× =
【解析】（Ⅰ）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B + + ，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（Ⅱ）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．