Question

（1）直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，证明：y₁y₂=-p²；
（2）直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点．

Answer 1

分析：（1）先设出直线方程（注意考虑斜率的存在性），再将直线与抛物线联立，运用韦达定理解决问题
（2）当斜率不存在时，直线x=

p

2

，此时A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，C(-

p

2

，-p)，易证直线AC经过原点．当斜率存在，设直线方程为：y=k(x-

p

2

)，与抛物线联立，运用韦达定理可求得k，进而证明直线AC经过原点

解答：解（1）1°当斜率不存在时，直线x=

p

2

．此时A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，y₁y₂=-p²
2°当斜率存在，设直线方程为：y=k(x-

p

2

)

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消元得：ky²-2py-kp²=0w所以   y₁y₂=-p²
综上所述y₁y₂=-p²
（2）1°当斜率不存在时，直线x=

p

2

，此时A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，C(-

p

2

，-p)
所以直线AC的斜率为kAC=

-p-p

- p 2 - p 2

=2
所以直线AC的方程为y-p=2(x-

p

2

)⇒y=2x直线经过原点
2°当斜率存在，设直线方程为：y=k(x-

p

2

)
设A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)C(-

p

2

，y2)
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消元得：ky²-2py-kp²=0  y₁y₂=-p²；所以直线AC的斜率为kAC=

- y 2 1 2p -y1

- p 2 - y 2 1 2p

=

2p

y1

所以直线AC的方程：y-y1=

2p

y1

(x-

y 2 1

2p

)⇒y=

2p

y1

x
所以直线经过原点．   
综上所述，直线经过原点

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，特别是焦点弦的运用，解题时要充分利用抛物线的特殊性，灵活运用韦达定理解决问题