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    复数z满足|z|=1，且z2+2z+
    1
    z
    ＜0．求z．
    考点：复数及其指数形式、三角形式,复数代数形式的乘除运算
    专题：数系的扩充和复数
    分析：由题意可设z=cosα+isinα，代入已知式子可得
    cos2α+3cosα＜0
    2sinαcosα+sinα=0
    ，分类讨论可得．
    解答： 解：由题意可设z=cosα+isinα，
    ∴z2=cos2α-sin2α+2isinαcosα，
    2z=2cosα+2isinα，
    1
    z
    =cosα-isinα
    ∴z2+2z+
    1
    z
    =(cos2α+3cosα)+(2sinαcosα+sinα)i＜0
    ∴
    cos2α+3cosα＜0
    2sinαcosα+sinα=0

    若sinα=0则cos2α=1，由cos2α+3cosα＜0，可得cosα=-1，z=-1
    若cosα=-
    1
    2
    ，则cos2α=-
    1
    2
    cos2α+3cosα＜0，可得z=-
    1
    2
    ±
    		3
    2
    i
    ∴z=-1或z=-
    1
    2
    ±
    		3
    2
    i    ．
    点评：本题考查复数的基本运算，属涉及分类讨论的思想，属基础题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列四个命题：
    ①因为（4+3i）-（2+3i）=2＞0，所以4+3i＞2+3i；
    ②由
    a
    •
    b
    =
    a
    •
    c
    两边同除
    a
    ，可得
    b
    =
    c
    ；
    ③数列1，4，7，10，…，3n+7的一个通项公式是an=3n+7；
    ④演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
    其中正确命题的个数有（　　）
    A、1个B、2个C、3个D、4个

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知{an}是公比为q的等比数列，且am、am+2、am+1成等差数列．
    （Ⅰ）求q的值；
    （Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm、Sm+2、Sm+1是否成等差数列？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知α∈（0，
    π
    2
    ），sinα-cosα=
    1
    5
    ．
    （1）求sinαcosα的值；
    （2）求sinα+cosα的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn=n2an（n≥2），且a1=1
    ①计算a2，a3，a4，a5；
    ②猜想an．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若sinθ=
    		3
    3
    ，求
    cos(π-θ)
    cosθ[sin(
    3
    2
    π-θ)-1]
    +
    cos(2π-θ)
    cos(π+θ)sin(
    π
    2
    +θ)-sin(
    3π
    2
    +θ)
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    ①已知a+b=1，求证：a2+b2＞
    1
    4
    ；
    ②已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2-3n-2，求证数列{
    Sn
    2n+1
    }是等差数列．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，an=（-1）n+1•n2，观察下列规律：
    1=1；
    1-4=-3=-（1+2）；
    1-4+9=6=1+2+3；
    1-4+9-16=-10=-（1+2+3+4）；
    …
    试写出数列{an}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆x2-2x+y2-2my+2m-1=0，当圆的面积最小时，直线l：y=k（x-1）+
    1
    2
    在圆上截得的弦长最短，则直线l的方程为
     
    ．

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