Question

10．已知α是锐角，求证：
（1）2（1-sinα）（1+cosα）=（1-sinα+cosα）²；
（2）$\frac{2（cosα-sinα）}{1+sinα+cosα}$=$\frac{cosα}{1+sinα}$-$\frac{sinα}{1+cosα}$．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式从左边到右边证明即可；
（2））分析法：要证已知等式只要证2（1+sinα）（1+cosα）=（1+sinα+cosα）²，展开由1=sin²α+cos²α可得．

解答 证明：（1）左边=2（1-sinα）（1+cosα）
=2（1+cosα-sinα-sinαcosα）
=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα，
右边=（1-sinα+cosα）²
=1+sin²α+cos²α-2sinα+2cosα-2sinαcosα
=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα=左边；
（2））要证$\frac{2（cosα-sinα）}{1+sinα+cosα}$=$\frac{cosα}{1+sinα}$-$\frac{sinα}{1+cosα}$，
只需证$\frac{2（cosα-sinα）}{1+sinα+cosα}$=$\frac{cosα（1+cosα）-sinα（1+sinα）}{（1+sinα）（1+cosα）}$，
只要证$\frac{2（cosα-sinα）}{1+sinα+cosα}$=$\frac{（cosα-sinα）（1+sinα+cosα）}{（1+sinα）（1+cosα）}$，
即证2（1+sinα）（1+cosα）=（1+sinα+cosα）²
即证：2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin²α+cos²α+2sinα+2cosα+2sinαcosα，
即1=sin²α+cos²α，显然成立，
故原式得证．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，熟练利用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．