【题目】已知函数f(x)= ax3﹣bex(a∈R,b∈R),且f(x)在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直.
(1)若函数f(x)在[ ,1]存在单调递增区间,求实数a的取值范围;
(2)若f′(x)有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求a的取值范围;
(3)在第二问的前提下,证明:﹣ <f′(x1)<﹣1.
【答案】
(1)解:因为f'(x)=ax2﹣bex,所以f'(0)=﹣b=﹣1,所以b=1
由前可知,f'(x)=ax2﹣ex
根据题意:f'(x)>0在 上有解,即ax2﹣ex>0在 上有解
即 在 上有解,令 ,故只需
所以 ,所以,当 时,g'(x)<0,所以g(x)在 上单调递减,
所以g(x)min=g(1)=e,所以 a>e
(2)解:令h(x)=f'(x),则h(x)=ax2﹣ex,所以h'(x)=2ax﹣ex
由题可知,h'(x)=0有两个根x1,x2,即2ax﹣ex=0有两个根x1,x2,
又x=0显然不是该方程的根,所以方程 有两个根,
设φ(x)= ,则φ′(x)= ,当x<0时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;
当0<x<1时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减;当x>1时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增.
故要使方程2a= 有两个根,只需2a>φ(1)=e,即a> ,
所以a的取值范围是( ,+∞)
(3)解:由(2)得:0<x1<1<x2
且由h'(x1)=0,得2ax1﹣ =0,所以a= ,x1∈(0,1)
所以f′(x1)=h(x1)=a ﹣ = ( ﹣1),x1∈(0,1),
令r(t)=et( ﹣1),(0<t<1),则r′(t)=et( )<0,
r(t)在(0,1)上单调递减,
所以r(1)<r(t)<r(0),即﹣ <f′(x1)<﹣1.
【解析】(1)求出函数的导数,问题转化为 在 上有解,令 ,故只需 ,根据函数的单调性求出a的范围即可;(2)令h(x)=f'(x),则h(x)=ax2﹣ex , 问题转化为方程 有两个根,设φ(x)= ,根据函数的单调性求出a的范围即可;(3)求出f′(x1)= ( ﹣1),x1∈(0,1),令r(t)=et( ﹣1),(0<t<1),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=2|x+2|﹣|x+1|,无穷数列{an}的首项a1=a.
(1)如果an=f(n)(n∈N*),写出数列{an}的通项公式;
(2)如果an=f(an﹣1)(n∈N*且n≥2),要使得数列{an}是等差数列,求首项a的取值范围;
(3)如果an=f(an﹣1)(n∈N*且n≥2),求出数列{an}的前n项和Sn .
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【题目】设函数f(x)=sinxcos2x,则下列结论中错误的为( )
A.点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
B.直线x= 是函数y=f(x)图象的一条对称轴
C.π是函数y=f(x)的周期
D.函数y=f(x)的最大值为1
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【题目】几年来,网上购物风靡,快递业迅猛发展,某市的快递业务主要由两家快递公司承接,即圆通公司与申通公司:“快递员”的工资是“底薪+送件提成”:这两家公司对“快递员”的日工资方案为:圆通公司规定快递员每天底薪为70元,每送件一次提成1元;申通公司规定快递员每天底薪为120元,每日前83件没有提成,超过83件部分每件提成10元,假设同一公司的快递员每天送件数相同,现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数,得到如下条形图:
(1)求申通公司的快递员一日工资y(单位:元)与送件数n的函数关系;
(2)若将频率视为概率,回答下列问题: ①记圆通公司的“快递员”日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作,如果仅从日收入的角度考虑,请你利用所学过的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
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【题目】已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x+1)的图象关于直线x=﹣1对称,且当x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立(f′(x)是函数f(x)的导函数),若a=0.76f(0.76),b=log 6f(log 6),c=60.6f(60.6),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
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【题目】将函数f(x)= sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再沿x轴向右平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=x2+alnx﹣x(a≠0),g(x)=x2 . (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的a∈(1,+∞),总存在x1 , x2∈[1,a],使得f(x1)﹣f(x2)>g(x1)﹣g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+1|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≥a2﹣2a﹣1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设m>0,n>0且m+n=1,求证: .
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