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(本小题满分12分)如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点 .

(1)求二面角B1MNB的正切值;
(2)求证:PB⊥平面MNB1
(3)若正方体的棱长为1,画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P、B两点间的距离 .
(1)解:连结BD交MN于F,连结B1F.
∵平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD,AC⊥BD,
∴AC⊥平面DD1B1B.又∵AC//MN,
∴MN⊥平面DD1B1B.
∵B1F,BF平面DD1B1B,
∴B1F⊥MN,BF⊥MN.
∵B1F平面B1MN,
BF平面BMN,则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.       -----------------------2分
在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB=
∴tan∠B1FB=.              -------------------------4分
(2)证明:过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA,连结BE.
又DA⊥平面ABB1A1,∴PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M.
又BE⊥B1M,∴B1M⊥平面PEB.
∴PB⊥MB1
由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1.     -----------------8分
(3)解:PB=,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一:
    -------------12分

试题分析:(1)要求二面角B1-MN-B的正切值,我们要先找出二面角的平面角,再构造三角形,解三角形求出其正切值.
(2)要证明PB⊥平面B1MN,我们要在平面内找到两条与PB垂直的相交直线,分析题意可知B1M,B1N满足要求,进而可以转化为证明线线垂直.
(3)利用侧面展开图来得到BP的长度的求解。
点评:解决该试题的关键是线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.本题也可以用空间向量来解决,其步骤是:建立空间直角坐系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解。
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