Question

（本小题满分12分）如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点 ．

（1）求二面角B₁MNB的正切值；
（2）求证：PB⊥平面MNB₁；
（3）若正方体的棱长为1，画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离 ．

Answer 1

（1）解：连结BD交MN于F，连结B₁F.
∵平面DD₁B₁B⊥平面ABCD,交线为BD，AC⊥BD,
∴AC⊥平面DD₁B₁B.又∵AC//MN，
∴MN⊥平面DD₁B₁B.
∵B₁F,BF平面DD₁B₁B，
∴B₁F⊥MN,BF⊥MN.
∵B₁F平面B₁MN，
BF平面BMN，则∠B₁FB为二面角B₁-MN-B的平面角.       -----------------------2分
在Rt△B₁FB中，设B₁B=1，则FB=，
∴tan∠B₁FB=.              -------------------------4分
（2）证明：过点P作PE⊥AA₁，则PE∥DA，连结BE.
又DA⊥平面ABB₁A₁，∴PE⊥平面ABB₁A₁,即PE⊥B₁M.
又BE⊥B₁M，∴B₁M⊥平面PEB.
∴PB⊥MB₁. 
由（1）中MN⊥平面DD₁B₁B,得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB₁.     -----------------8分
（3）解：PB=，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：
    -------------12分

试题分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）要证明PB⊥平面B₁MN，我们要在平面内找到两条与PB垂直的相交直线，分析题意可知B₁M，B₁N满足要求，进而可以转化为证明线线垂直．
（3）利用侧面展开图来得到BP的长度的求解。
点评：解决该试题的关键是线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解。