Question

【题目】已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

Answer 1

【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 =0，
∴ ⊥ ，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0，
则y1y2=﹣4，
由 =x1x2+y1y2=0，
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则y1y2=﹣4，
则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 =x1x2+y1y2=0，
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，
圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2/span> ， ﹣2﹣y2），
由 =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，
则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，
则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ，
∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．
当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2=
或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【解析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 =0，则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）由题意可知： =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
【考点精析】本题主要考查了点斜式方程和斜截式方程的相关知识点，需要掌握直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为则：；直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为则：才能正确解答此题．