Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）首先建立恰当的空间直角坐标系，然后表示出

PA

、

BD

的坐标，证明其乘积为0即可；
（2）分别求出平面PAD的法向量与平面BAD的法向量，由它们的夹角余弦值进而求出二面角P-AD-B的余弦值．

解答：（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．
由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的
空间直角坐标系O-xyz．
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，
∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，

3

）．
∴

BD

=(-2，-1，0)，

PA

=(1，-2，-

3

)．
∵

BD

•

PA

=(-2，-1，0)•(1，-2，-

3

)=0，
∴

BD

⊥

PA

即BD⊥PA．

（2）解：由（1）知

AD

=（-2，1，0），

PA

=（1，-2，-

3

），
设平面PAD的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1 • AD =0 n1 • PA =0

，即

-2x+y=0 x-2y- 3 z=0

．
不妨取

n1

=（1，2，-

3

）．
又平面BAD的一个法向量为

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | •| n2 |

=

- 3

2 2

=-

6

4

．
又二面角P-AD-B是锐二面角，
∴二面角P-AD-B的余弦值为

6

4

．

点评：本题主要考查向量法解立体几何问题．