Question

已知曲线C：y=x²与直线l：x-y+2=0交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，先利用中点M的坐标反表示出P点的坐标，由点P在曲线C上，即求得到中点M的坐标的关系，从而解决问题．
解答：解：联立y=x²与y=x+2得x_A=-1，x_B=2，
则AB中点，
设线段PQ的中点M坐标为（x，y），
则，
即，又点P在曲线C上，
∴化简可得，
又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，
则，即，
∴中点M的轨迹方程为（）．
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．