Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，再根据a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k₁+k₂=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，由已知可求得AB方程，易验证其过定点．

解答 （Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，
设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
由已知 k₁+k₂=8，可得 $\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=8，
所以$\frac{k{x}_{1}+m-2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+m-2}{{x}_{2}}$=8，即2k+（m-2）•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=8．     
所以k-$\frac{mk}{m+2}$=4，可得m=$\frac{1}{2}$k-2．
故直线AB的方程为y=kx+$\frac{1}{2}$k-2，即y=k（x+$\frac{1}{2}$）-2．
所以直线AB过定点（-$\frac{1}{2}$，-2）；   
（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$-$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}}$=8，得x₀=-$\frac{1}{2}$．
此时AB方程为x=-$\frac{1}{2}$，显然过点（-$\frac{1}{2}$，-2）．
综上，直线AB过定点（-$\frac{1}{2}$，-2）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．