Question

18．已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=ln²（1+x）-$\frac{x^2}{1+x}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：g（x）≤0；
（3）若不等式${（1+\frac{1}{n}）^{n+a}}$≤e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最大值，证出结论即可；
（3）问题等价于不等式$（n+a）ln（1+\frac{1}{n}）≤1$，由$1+\frac{1}{n}＞1$知，$a≤\frac{1}{{ln（1+\frac{1}{n}）}}-n$，设$G（x）=\frac{1}{ln（1+x）}-\frac{1}{x}，x∈（{0，1}]$，根据函数的单调性求出a的最大值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}$，…（1分）
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．
所以，f（x）的增区间为（-1，0），减区间为（0，+∞）…（2分）
（2）证明：函数g（x）的定义域是（-1，+∞），
$g'（x）=\frac{2ln（1+x）}{1+x}-\frac{{{x^2}+2x}}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{{2（1+x）ln（1+x）-{x^2}-2x}}{{{{（1+x）}^2}}}$．…（3分）
设h（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则h'（x）=2ln（1+x）-2x．
由（1）得，f（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数．
所以f（x）在x=0处取得极大值，而f（0）=0，所以h'（x）＜0（x≠0），…（4分）
函数h（x）在（-1，+∞）上为减函数．又h（0）=0，
于是当-1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，当x＞0时，h（x）＜h（0）=0…（5分）
所以，当-1＜x＜0时，g'（x）＞0，g（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数…（6分）
所以g（x）在x=0处取得极大值，而g（0）=0，所以g（x）≤0…（7分）
（3）不等式${（1+\frac{1}{n}）^{n+a}}≤e$等价于不等式$（n+a）ln（1+\frac{1}{n}）≤1$．…（8分）
由$1+\frac{1}{n}＞1$知，$a≤\frac{1}{{ln（1+\frac{1}{n}）}}-n$．…（9分）
设$G（x）=\frac{1}{ln（1+x）}-\frac{1}{x}，x∈（{0，1}]$，
则$G'（x）=-\frac{1}{{（1+x）{{ln}^2}（1+x）}}+\frac{1}{x^2}=\frac{{（1+x）{{ln}^2}（1+x）-{x^2}}}{{{x^2}（1+x）{{ln}^2}（1+x）}}$．…（10分）
由（Ⅰ）知，${ln^2}（1+x）-\frac{x^2}{1+x}≤0$，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以G'（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上为减函数．
故函数G（x）在（0，1]上的最小值为$G（1）=\frac{1}{ln2}-1$．…（11分）
所以a的最大值为$\frac{1}{ln2}-1$．            …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．