【题目】在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,。
(Ⅰ)(ⅰ)求证:数列为等差数列;
(ⅱ)求数列的通项公式。
(Ⅱ)设数列的前项和为,证明:,。
【答案】(1)紧扣等差数列定义证明,(2)当为偶数时,当为奇数时。(3)证明见解析。
【解析】
试题分析:要证明数列为等差数列,只需证明成立,由于数列首项为正,
数列为单调递增,说以,由成等差数列,得……(1),由因为,成等比数列,则,于是代入(1)式整理得:得证;先求,备用,由于数列为等差数列,可借助等差数列通项公式求出,再由求出,最后分为奇数和偶数两种情况表达,由于数列的通项公式分为奇数和偶数两种情况表达的,所以需要合在一起,合成公式是
,合成后对进行放缩,这里技巧很重要,
,再求,最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的;
试题解析:(ⅰ)因为数列为单调递增数列,,所以()。由题意成等差数列,成等比数列,.得,,于是,化简得,所以数列为等差数列。
(ⅱ)又,,所以数列的首项为,公差为,所以,从而。结合可得。因此,当为偶数时,当为奇数时。
(2)所以数列的通项公式为:
。因,所以;则有,所以,。
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【题目】已知命题p:x∈R,sinx≤1,则¬p为( )
A.x∈R,sinx≥1
B.x∈R,sinx≥1
C.x∈R,sinx>1
D.x∈R,sinx>1
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【题目】下列命题中正确的是( )
A. 如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行
B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面
D. 如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面
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【题目】一房产商竞标得一块扇形地皮,其圆心角,半径为,房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方案如图,方案一:矩形的一边在半径上,在圆弧上,在半径;方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上,顶点分别在两条半径上。请你通过计算,为房产商提供决策建议。
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【题目】已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?
(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM。
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【题目】
已知函数,。
(1)若函数在处的切线与函数在处的切线互相平行,求实数的值;
(2)设函数。
(ⅰ)当实数时,试判断函数在上的单调性;
(ⅱ)如果是的两个零点,为函数的导函数,证明:。
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