Question

数列{a_n}：a₁=1，a₂=3，a₃=2，a_n+2=a_n+1-a_n，求S₂₀₀₂．

Answer 1

分析：由a₁=1，a₂=3，a₃=2，a_n+2=a_n+1-a_n可得a₄=-1，a₅=-3，a₆=-2，a₇=1，a₈=3，a₉=2，a₁₀=-1，a₁₁=-3，a₁₂=-2，…a_6k+1=1，
从而可得数列是以6为周期的周期数列，且有a_6k+1+a_6k+2+a_6k+3+a_6k+4+a_6k+5+a_6k+6=0，代入可求和

解答：解：设S₂₀₀₂=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₂
由a₁=1，a₂=3，a₃=2，a_n+2=a_n+1-a_n可
可得a₄=-1，a₅=-3，a₆=-2，a₇=1，a₈=3，a₉=2，a₁₀=-1，a₁₁=-3，a₁₂=-2，…a_6k+1=1，
即a_6k+2=3，a_6k+3=2，a_6k+4=-1，a_6k+5=-3，a_6k+6=-2
∵a_6k+1+a_6k+2+a_6k+3+a_6k+4+a_6k+5+a_6k+6=0（找特殊性质项）
∴S₂₀₀₂=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₂（
=（a₁+a₂+a₃+…a₆）+（a₇+a₈+…a₁₂）+…+（a_6k+1+a_6k+2+…+a_6k+6）+…+（a₁₉₉₃+a₁₉₉₄+…+a₁₉₉₈）+a₁₉₉₉+a₂₀₀₀+a₂₀₀₁+a₂₀₀₂
=a₁₉₉₉+a₂₀₀₀+a₂₀₀₁+a₂₀₀₂
=a_6k+1+a_6k+2+a_6k+3+a_6k+4
=5

点评：本题主要考查了由数列的递推关系求解数列的和，解题的关键是由数列的递推公式求解数列的前几项，然后总结出数列的周期性的特点．