Question

已知函数f(x)=ax³+bx+c在x=1处取得极值2,且函数f(x)的图象过(0,)点.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)若点P为函数f(x)=ax³+bx+c图象上的任意一点,直线l与函数f(x)=ax³+bx+c图象相切于P点,求直线l的倾斜角的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²+b,

由题意得,

即解得∴f(x)=x³-x+.

(2)由f′(x)=x²-1=0,得x=±1,于是

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值2	↗

故函数的单调增区间为(-∞,-1)与(1,+∞),单调减区间为(-1,1).

(3)设点P(x₀,y₀),则直线l的斜率k=f′(x₀)=x₀²-1.

当x₀∈R时,k∈［-1,+∞),

所以直线l的倾斜角的取值范围是［0,)∪［,π).