Question

如图，在几何体中，四边形ABCD为平行四边形，且∠ACB=90°，平面ACE⊥平面ABCD，EF∥BC，AC=BC=2，AE=EC=

2

．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求三棱锥D-ACE的体积．

Answer 1

分析：（I）由平面AC²=AE²+CE²平面，知AE⊥EC，由此能够证明BC⊥AE，进而由线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，可得平面ACE⊥平面BCEF；
（II）设AC的中点为G，连接EG，由AE=CE，知EG⊥AC，由BC⊥平面AEC，知EG⊥BC，由此推导出点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离，由此能求出三棱锥D-ACF的体积．

解答：证明：（I）∵平面AC²=AE²+CE²平面，
∴AE⊥EC，且平面ACE∩平面，AE⊥ECBF，BC⊥AC，
BC?平面BCEF，∴BC⊥平面AEC．…（2分）
∴BC⊥AE，…（3分）
又AC=

2

，AE=EC=1，∴AC²=AE²+CE²
∴AE⊥EC…（4分）
且BC∩EC=C，∴AE⊥平面ECBF．…（6分）
解：（II）设AC的中点为G，连接EG，
∵AE=CE，
∴EG⊥AC
由（I）知BC⊥平面AEC，
∴BC⊥EG，即EG⊥BC，
又AC∩BC=C，
∴EG⊥平面ABCD…（8分）
EF∥BC，EF?平面ABCD，
所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离
即点F到平面ABCD的距离为EG的长…（10分）
∴三棱锥D-ACE的体积VD=

1

3

S_△ACD•EG，
∵S_△ACD=

1

2

AC•AD=

1

2

×

2

×

2

=1
EG=

1

2

AC=

2

2

∴V=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

，
即三棱锥D-ACF的体积为

2

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．