Question

设△ABC中，AD为内角A的平分线，交BC边于点D，|

AB

|=3，|

AC

|=2，∠BAC=60°，则

AD

•

BC

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先利用三角形的角平分线的性质得到BD：BC=3：5，再由余弦定理求出BC的长度，结合菱形的性质以及三角形相似求出DH，再由余弦定理求AD的长度，然后将

BC

表示为

AC

-

AB

，然后进行向量是数量积运算．

解答： 解：△ABC中，作DG‖AB，DH‖AC，则四边形AHDG为平行四边形．
如图，∵AD为内角A的平分线，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，
由三角形内角平分线的性质可得

BD

DC

=

AB

AC

=

3

2

，
∴

BD

BC

=

3

5

．
△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=9+4-2×3×2×

1

2

=7，
再根据∠BHD=∠BAD+∠ADH，∴∠ADH=30°，
∴AH=HD，∴AHDG为菱形．
由△BDH∽△BCA，

DH

AC

=

BD

AC

=

3

5

，
∴DH=

6

5

=AH．
再根据∠AHD=120°，△ABD中，由余弦定理可得AD²=AH²+HD²-2AH•HD•cos∠AHD
=（

6

5

）2+（

6

5

）²-2×

6

5

×

6

5

×（-

1

2

）=3×（

6

5

）2，
∴AD=

6

5

3

．
∴

AD

•

BC

=

AD

•(

AC

-

AB

)=

AD

•

AC

-

AD

•

AB

=

6

5

3

×2×

3

2

-

6

5

3

×3×

3

2

=-

9

5

；
故答案为：-

9

5

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．