Question

给出下列四个函数：
①y=x+

1

x

(x≠0)②y=3^x+3^-x③y=

x2+2

+

1

x2+2

④y=sinx+

1

sinx

，x∈(0，

π

2

)
其中最小值为2的函数是

②

．

Answer 1

分析：①函数y=x+

1

x

(x≠0)为奇函数，只有极小值，无最小值；②根据3^x＞0，3^-x＞0，可得y=3^x+3^-x≥2，所以函数由最小值2；③设

x2+2

=t，，则y=

x2+2

+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上单调增，所以函数的最小值为

5

2

；④设sinx=t，y=t+

1

t

在（0，1）上单调减，函数无最小值．故可得答案．

解答：解：①函数y=x+

1

x

(x≠0)为奇函数，只有极小值，无最小值；
②∵3^x＞0，3^-x＞0，∴y=3^x+3^-x≥2，∴函数由最小值2；
③设

x2+2

=t，∵

x2+2

≥ 2，t≥2，∴y=

x2+2

+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上单调增，∴函数的最小值为

5

2

；
④设sinx=t，∵x∈(0，

π

2

)，∴0＜t＜1，∴y=t+

1

t

在（0，1）上单调减，∴函数无最小值．
故答案为：②

点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查基本不等式的运用，同时考查了函数的单调性，应注意基本不等式的使用条件．