Question

13．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）若点D到平面BEC的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求三棱锥F-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE；
（3）由（1）知，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE，则DH⊥平面BCE，求出高DE，转换底面即可求三棱锥F-BDE的体积．

解答 （1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，∠BDC=45°，可得BC=$\sqrt{2}$．
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，∴BD²+BC²=CD²．
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面BDE；
（2）解：由（1）知，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE，则DH⊥平面BCE，∴DH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
△BDE中，由等面积可得$\sqrt{2}$•DE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{D{E}^{2}+2}$
∴DE=1，
∴V_F-BDE=V_B-DEF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查三棱锥F-BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．