Question

已知方程x²+y²-2(t+3)x+2(1-4t²)y+16t⁴+9=0(t是实数)表示的图形是圆.

(1)求实数t的取值范围;

(2)求其中面积最大的圆的方程;

(3)若点P(3,4t²)恒在所给圆内,求t的取值范围.

Answer 1

思路点拨：本题所给的方程是圆的一般方程,需要根据它表示圆的充要条件判断t的范围,也可以把它转化为标准方程,再进行处理.

解：(1)方程可以转化为(x-t-3)²+(y+1-4t²)²=(t+3)²+(1-4t²)²-16t⁴-9,

则半径的平方为r²=-7t²+6t+1＞0,

所以-＜t＜1.

(2)因为r=,

所以当t=∈(-,1)时,半径取最大值.

此时面积最大,所对应的圆的方程为(x-)²+(y+)²=.

(3)当且仅当3²+(4t²)²-2(t+2)×3+2(1-4t²)(4t²)+16t⁴+9＜0时,点P在圆内.

所以8t²-6t＜0,即0＜t＜.