Question

【题目】已知函数f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要使函数有意义，则，解得﹣3＜x＜3，
故函数y=f（x）定义域为（﹣3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y=f（x）的定义域为（﹣3，3），关于原点对称．
对任意x∈（﹣3，3），则﹣x∈（﹣3，3），
∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），
∴由函数奇偶性可知，函数y=f（x）为偶函数．
（Ⅲ）∵函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）=lg（9﹣x2），
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y=f（x）为减函数．
又函数y=f（x）为偶函数，
∴不等式f（2m﹣1）＜f（m），等价于|m|＜|2m﹣1|＜3，
解得﹣1＜m＜或1＜m＜2．
【解析】（Ⅰ）由 ， 求得x的范围，可得函数y=f（x）定义域．
（Ⅱ）由于函数y=f（x）的定义域关于原点对称．且满足 f（﹣x）=f（x），可得函数y=f（x）为偶函数．
（Ⅲ）化简函数f（x）的解析式为lg（4﹣x2），结合函数的单调性可得，不等式f（m﹣2）＜f（m）等价于|m|＜|m﹣2|＜2，由此求得m的范围．
【考点精析】利用函数的定义域及其求法和指、对数不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化．