Question

已知点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足：S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的通项c_n=b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n；
（3）若数列{}前n项和为T_n，问T_n＞的最小正整数n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，求出函数解析式，根据等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，依次求出a₁，a₂，a₃，然后由求出c，则首项和公比可求，所以通项公式可求，再由数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足：S_n-S_n-1=+（n≥2）．展开等式左边约分后可得数列{}为首项为1公差为1的等差数列，求出S_n后，由b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{b_n}的通项公式代入数列{c_n}的通项c_n=b_n，然后运用错位相减法求数列{c_n}的前n项和；
（3）运用裂项相消法求出数列{}前n项和为T_n，代入T_n＞进行求解．
解答：解：（1）因为点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
所以，所以，．
因为等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，
所以，
a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=．
又数列{a_n}成等比数列，所以，，所以c=1．
所以．
又公比q=
所以．
由数列{b_n}的前n项和满足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
则  （n≥2），
又b_n＞0，，所以．
所以，数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则，所以．
当n≥2时，，
满足b₁=c=1．
所以，；
（2）由，
所以R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=①
两边同时乘以得：
+…+②
①式减②式得：


化简得：=

所以．
（3）
=
=
=；
由，得n＞，所以，满足的最小正整数为112．
点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式，考查了错位相减法和裂项相消法求数列的前n项的和，比较综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的计算能力，特别是（1）中求解两个数列的通项公式，需要有一定的灵活变化技巧，此题属于难题．