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15.已知直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$,求l被曲线x2-y2=-3+4$\sqrt{3}$所截弦长及弦中点坐标.

分析 设直线l与双曲线相交于点A,B.把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$,代入曲线x2-y2=-3+4$\sqrt{3}$,化为2t2+$(4-2\sqrt{3})t$-4$\sqrt{3}$=0.解出t,利用中点坐标公式与弦长公式即可得出.

解答 解:设直线l与双曲线相交于点A,B.
直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$,代入曲线x2-y2=-3+4$\sqrt{3}$,
化为2t2+$(4-2\sqrt{3})t$-4$\sqrt{3}$=0.
解得t1=-2,t2=$\sqrt{3}$.
∴A$(-1-\sqrt{3},4)$,B$(2,2-\sqrt{3})$.
∴弦AB的中点M$(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{6-\sqrt{3}}{2})$.
弦长|AB|=$\sqrt{(3+\sqrt{3})^{2}+(2+\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{19+10\sqrt{3}}$.

点评 本题考查了直线与曲线的交点、中点坐标公式与弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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