Question

15．已知直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$，求l被曲线x²-y²=-3+4$\sqrt{3}$所截弦长及弦中点坐标．

Answer 1

分析 设直线l与双曲线相交于点A，B．把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$，代入曲线x²-y²=-3+4$\sqrt{3}$，化为2t²+$（4-2\sqrt{3}）t$-4$\sqrt{3}$=0．解出t，利用中点坐标公式与弦长公式即可得出．

解答 解：设直线l与双曲线相交于点A，B．
直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$，代入曲线x²-y²=-3+4$\sqrt{3}$，
化为2t²+$（4-2\sqrt{3}）t$-4$\sqrt{3}$=0．
解得t₁=-2，t₂=$\sqrt{3}$．
∴A$（-1-\sqrt{3}，4）$，B$（2，2-\sqrt{3}）$．
∴弦AB的中点M$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}，\frac{6-\sqrt{3}}{2}）$．
弦长|AB|=$\sqrt{（3+\sqrt{3}）^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{19+10\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了直线与曲线的交点、中点坐标公式与弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．