Question

是否存在两个锐角α，β满足．
（1）α+2β=

2π

3

；
（2）tan

α

2

•tanβ=2-

3

同时成立，若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由（1）得

α

2

+β=

π

3

，∴

3

=tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

，tan

α

2

+tanβ=3-

3

，tan

α

2

•tanβ=2-

3

联立解得tan

α

2

=1或tanβ=1（∵0＜

α

2

＜

π

4

，∴tan

α

2

≠1，舍去），所以tanβ=1，解出α和β即可．

解答：解：由（1）得

α

2

+β=

π

3

，∴

3

=tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

，得tan

α

2

+tanβ=3-

3

，又因为tan

α

2

•tanβ=2-

3

∴将tan

α

2

=

2- 3

tanβ

代入得tanβ=1；将tanβ=

2- 3

tan α 2

得tan

α

2

=1（∵0＜

α

2

＜

π

4

，∴tan

α

2

≠1，舍去），
∴tanβ=1
∴

α= π 6 β= π 4

为所求满足条件的两个锐角．

点评：考查学生运用两角和与差的正切函数公式的能力，应用任意角三角函数定义解决数学问题的能力．