某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2013年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足x=

3t+1

t+1

，已知2013年生产饮料的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完．
（1）将2013年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2013年的年促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

分析：（1）确定饮料的售价，即可通过x表示出年利润y，化简代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）根据已知代入（1）的函数，分别进行化简，利用关于t的方程必须有两正根建立关系式，可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答：解：（1）当年销量为x万件时，成本为3+32x（万元）．
饮料的售价为

3+32x

×150%+

（万元/万件）
所以年利润y=（

3+32x

×150%+

）x-（3+32x+t）（万元）
把x=

3t+1

t+1

代入整理得到y=

-t2+98t+35

2t+2

，其中t≥0．
（2）y=

-t2+98t+35

2t+2

，去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．
该关于t的方程在[0，+∞）上有解．
当2y-35≤0，即y≤17.5时，必有一解．
当2y-35＞0时，该关于t的方程必须有两正根
所以

4(y-49)2-4(2y-35)≥0

-2(y-49)＞0

2y-35＞0

解得：17.5＜y≤42．
综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）．
所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、方程根的分布等基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，属于中档题．

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（1）试用促销费用t表示年销售量x．
（2）将2005年的利润y万元表示为促销费t万元的函数．
（3）该企业2005年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

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（本小题13分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足。已知2010年生产饮料的设备折旧，维修等固定费用为3 万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完。