Question

【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用a，b，c，d表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记X＝|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|+|d﹣4|．

（1）求该业主获得礼品的概率；

（2）求X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】

（1）求得该业主预测的结果的总数，其中预测完全正确的结果只有1种，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解；

（2）以（a，b，c，d）为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列，利用公式求得数学期望.

（1）由题意，该业主预测的结果有种可能，预测完全正确的结果只有1种，

所以该业主获奖的概率为．

（2）以（a，b，c，d）为一个基本事件，如下表所示：

（a，b，c，d）	X	（a，b，c，d）	X	（a，b，c，d）	X
（1，2，3，4）	0	（2，3，1，4）	4	（3，4，1，2）	8
（1，2，4，3）	2	（2，3，4，1）	6	（3，4，2，1）	8
（1，3，2，4）	2	（2，4，1，3）	6	（4，1，2，3）	6
（1，3，4，2）	4	（2，4，3，1）	6	（4，1，3，2）	6
（1，4，2，3）	4	（3，1，2，4）	4	（4，2，1，3）	6
（1，4，3，2）	4	（3，1，4，2）	6	（4，2，3，1）	6
（2，1，3，4）	2	（3，2，1，4）	4	（4，3，1，2）	8
（2，1，4，3）	4	（3，2，4，1）	6	（4，3，2，1）	8

所以随机变量的所有可能的取值为，

可得

所以随机变量X的分布列如表：

	0	2	4	6	8

所以数学期望E（X）．