Question

【题目】已知函数.

（1）若在处的切线方程为，求实数，的值：

（2）求证：当时，在上有两个极值点：

（3）设，若在单调递减，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；.（2）见解析（3）

【解析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，将横坐标带入结合切线方程的斜率即可求得的值，进而可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得的值.

（2）令，再求得，由导函数与函数单调性关系可得的单调区间.由可得的最小值符号，再由及零点存在定理可判断在有一个零点；表示出，并构造函数，由的符号可得的单调递减区间，根据零点存在定理可知在有一个零点，从而证明出结论.

（3）由题意可得的表达式，构造函数，并求得，再构造函数，并由的符号可判断的单调情况，从而由的最值判断出的符号，即可得的单调情况.对分类讨论，从而由的符号得符合题意的的取值范围.

（1）函数.

则，

由条件知，所以，

，所以切点坐标为.

把代入，

解得.

（2）证明：令，

则，所以在单调递减，在单调递增.

因为，所以.

又，所以在有一个零点.

又，

令，则，

所以在单调递减，故，

即，所以在有一个零点.

于是可知：当时，，单调递增；当时，

，单调递减；当时，，单调递增.

因此，在上有两个极值点（在处取得极大值，在处取得极小值）.

（3），

令，

则，

令，当时，，

单调递增，，

所以，在单调递增，

于是可得，

①若，则，，

因为在单调递减，

所以

，

令，

当时，，

故单调递减，所以，解得，

②若，则，

，

因为在单调递减，所以，

当，时，

，

所以，即，满足题设.

③若，则存在唯一确定的，使得.

当时，，即存在，，

但，这与在单调递减矛盾，不合题意.

综上所述，.