Question

（2012•广东模拟）已知函数f（x）=ax•lnx+b（a，b∈R），在点（e，f（e））处的切线方程是2x-y-e=0（e为自然对数的底）．
（1）求实数a，b的值及f（x）的解析式；
（2）若t是正数，设h（x）=f（x）+f（t-x），求h（x）的最小值；
（3）若关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）对一切x∈（0，6）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数在点（e，f（e））处的切线方程是2x-y-e=0，可得f（e）=e，f′（e）=2，利用点（e，f（e））在函数f（x）=ax•lnx+b上，即可求实数a，b的值及f（x）的解析式；
（2）h（x）=f（x）+f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），h（x）的定义域为（0，t），确定函数的单调性，从而可求h（x）的最小值；
（3）xlnx+（6-x）ln（6-x）=f（x）+f（6-x）=h（x），t=6时h（x）_min=h（3）=6ln3=ln729，从而关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）对一切x∈（0，6）恒成立，转化为ln（k²-72k）≤ln729，解不等式，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）依题意有2e-f（e）-e=0，∴f（e）=e
∵f（x）=ax•lnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b
∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2-2a
∵点（e，f（e））在函数f（x）=ax•lnx+b上
∴f（e）=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e，∴a=1
∴b=0，∴f（x）=xlnx；
故实数a=1，b=0，f（x）=xlnx                          …（4分）
（2）h（x）=f（x）+f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），h（x）的定义域为（0，t）；…（5分）
h′（x）=lnx+1-[ln（t-x）+1]=ln

x

t-x

            …（6分）
由h′（x）＞0得

t

2

＜x＜t；h′（x）＜0得0＜x＜

t

2

…（8分）
∴h（x）在(

t

2

，t)上是增函数，在（0，

t

2

）上是减函数
∴h（x）_min=h（

t

2

）=tln

t

2

…（10分）
（3）∵xlnx+（6-x）ln（6-x）=f（x）+f（6-x）=h（x）
由（2）知，h（x）_min=h（

t

2

）=tln

t

2

，∴t=6，h（x）_min=h（3）=6ln3=ln729
∵关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）对一切x∈（0，6）恒成立，
∴ln（k²-72k）≤ln729
∴

k2-72k＞0 k2-72k≤729

∴-9≤k＜0或72＜k≤81…（13分）
故实数k的取值范围为[-9，0）∪（72，81]．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性，属于中档题．